Trazos Fundamentales con Reglas y compas: Trazados Fundamentales con Reglas y Compas

Introducción

Es la técnica de Trazos fundamentales para desarrollar de una manera rápida y atendible la idea de un dibujo o un diseño.También es sinónimo de ausencia de instrumentos, ya que para su desarrollo basta con poseer: lápiz, borrador y papel
Al comenzar a dibujar, es de suma utilidad observar y ejercitar los movimientos locomotores de nuestra mano para lograr trazos precisos en aquellos trabajos vinculados con la actividad del dibujo.

REGLA Y COMPÁS

La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque «olvida» la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.

Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de solo compás.

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución con regla y compás son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

Pese a esa imposibilidad lógica insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas. Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geométricas que no pueden realizarse con regla y compás (euclídeos). Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren un poco más que la regla y el compás clásico

TRAZOS DE UNA LINEA

Denominamos punto al cruce de dos líneas, este no tiene dimensión. En lo sucesivo lo denominaremos por letras mayúsculas.Una línea es una sucesión ilimitada de puntos. Cuando estos van en la misma dirección definen una recta. La denominaremos por una letra minúscula.Si la recta está limitada en uno de sus extremos, estaremos definiendo una semirrecta.Si se encuentra limitado por los dos extremos será un segmento.Lugar geométrico en el conjunto de puntos que cumple una determina condición.Si dos rectas se cortan formando un ángulo de 90º, estas serán perpendiculares.

TRAZADO DE LA PERPENDICULAR A UN SEGMENTO EN SU PUNTO MEDIO. MEDIATIZAR DE SEGMENTO.

La mediatizar de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos a y b y por tanto es la perpendicular en su punto medio.Sea el segmento A-B.Con centro en A y con radio mayor que la mita del segmento ( 2/3 aproximadamente), se trazan dos arcos de circunferencia.Con el mismo radio y haciendo centro en B se traza otros dos arcos que cortarán a los anteriores en los puntos C y D.La unión de los puntos anteriores nos determinan la recta p, mediatrizdel segmento AB. Esta será el lugar geométrico de todos los puntos que

Para el trazo de líneas se seguirán las reglas ya conocidas en el dibujo técnico ya que son reglas universales:

Las líneas verticales, se trazan de arriba hacia abajo, con un movimiento oscilatorio de los dedos en una serie de trazos continuos y firmes.

Las líneas horizontales, se trazan de izquierda a derecha con un movimiento de muñeca para las líneas cortas y del antebrazo para las líneas largas.Las líneas inclinadas, se trazan desplazando el lápiz desde la parte superior del área de trabajo, hacia la parte inferior de la misma, con trazos continuos y firmes.Todas las líneas curvas se trazan de un solo movimiento y en sentido de las manecillas del reloj, realizándolas primero con un trazo ligero, para luego delinearlos con más presión y precisión, corrigiendo la dirección del trazo inicial

La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de la reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos física. El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia dela mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de traza La regla es infinitamente larga (es decir, puede prolongar una recta tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-paralelepípedos o franjas algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra.

Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un simple juego, más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo interesante es lo que no se puede hacer con regla y compás.

Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son

Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.

Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostró matemáticamente que es imposible hacerlo.

Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible. La construcción de determinados (infinitos) polígonos regulares, como por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o el endecágono (polígono regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.

CONSTRUCCIONES BÁSICAS DE UN COMPÁS

Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, rectas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:

Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).2 Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado 3 Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.4 Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia.5 Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias.

Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás

NUEVAS FIGURAS EN EL COMPÁS

dibujar este diseño bonito de siete círculos que hace una "flor"! La actividad ayuda a los estudiantes a aprender a utilizar el compás y también es artística. Puede colorear el diseño usando 2, 3 o 4 colores.

1)Dibuje una recta y un círculo así que el punto central del círculo está en la recta. A continuación, marque los puntos donde el círculo cruza con la recta.

2) Utilizando estos puntos como puntos centrales, dibuje dos círculos más. El radio queda igual todo el tiempo, así que ¡asegúrese de que no lo cambie en el compás! Mis niñas y yo utilizamos 5 cm como el radio, y eso hizo que todo el diseño cabia perfectamente en un papel de tamaño carta.